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高考总复*数学课件:第三章 第5讲 两角和与差及二倍角的三角函数公式

发布时间:

第5讲 两角和与差及二倍角的 三角函数公式

考纲要求

考点分布

考情风向标

2011年新课标第7题考查同角关系式

1.会用向量的数量积推 导出两角差的余弦公 式. 2.能利用两角差的余 弦公式导出两角差的正 弦、正切公式. 3.能利用两角差的余 弦公式导出两角和的正 弦、余弦、正切公式, 导出二倍角的正弦、余 弦、正切公式,了解它 们的内在联系

及二倍角公式;

2013年新课标Ⅰ第10题以解三角形 本节复*时,

为背景,考查倍角公式及余弦定理; 应准确把握

2013年新课标Ⅱ第6题考查诱导公式、公式的特征,

二倍角公式(降幂公式);

活用公式(正

2014年新课标Ⅱ第14题考查两角和 用、逆用、

差的三角函数;

变形用、创

2015年新课标Ⅰ第2题考查诱导公式、造条件用);

两角和与差的正余弦公式;

重点解决三

2016年新课标Ⅰ第14题考查三角函 角函数式的

数求值;

化简、求值、

2017年新课标Ⅲ第4题考查二倍角公 求角问题

式,新课标Ⅰ第15题考查两角和与

差的余弦公式

1.两角和与差的三角函数

三角函数

两角和

简写形式

正弦 余弦 正切

sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β cos(α+β)=_c_o_s_α_c_o_s__β_-__si_n__α_si_n_β__
tan(α+β)=1t-antαan+αttaannββ

Sα+β Cα+β Tα+β

(续表) 三角函数 正弦 余弦
正切

两角差 sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β
tan(α-β)=1t+antαan-αttaannββ

简写形式 Sα-β Cα-β
Tα-β

2.二倍角的三角函数

三角函数

二倍角

简写形式

正弦

sin 2α=____2_si_n_α_c_o_s__α__

S2α

余弦

cos 2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1= 1-2sin2α

C2α

正切

tan 2α=1-2tatnanα2α

T2α

3.降次公式

cos2α=1+c2os

2α;sin2α=1-c2os

2α .

4.辅助角公式 asin x+bcos x= a2+b2sin(x+φ). 其中 cos φ= a2a+b2,sin φ= a2b+b2, tan φ=ba,角 φ 称为辅助角.

1.下列各式的值为14的是( D )

A.2cos21π2-1

B.1-2sin275°

2tan 22.5° C.1-tan222.5°

D.sin 15°cos 15°

2.(2017 年山东)函数 y= 3sin 2x+cos 2x 的最小正周期为

( C) A.π2 C.π

B.23π D.2π

解析:y= 3sin 2x+cos 2x=2sin???2x+π6???,T=22π=π.

3.(2017 年山东)已知 cos x=34,则 cos 2x=( D )

A.-14

1 B.4

C.-18

1 D.8

解析:cos 2x=2cos2x-1=18.

2 4.(2016 年四川)cos2π8-sin2π8=____2___.

解析:由二倍角公式,得 cos2π8-sin2π8=cos

π4=

2 2.

考点 1 给角求值问题

例 1:(1)(2015 年新课标Ⅰ)sin 20°cos 10°-cos 160°sin 10° =( )

A.-

3 2

B.

3 2

C.-12

D.12

解析:原式=sin 20°cos 10°+cos 20°sin 10°=sin 30°=12.故 选 D.

答案:D

(2)(2015 年四川)sin 15°+sin 75°=________.

解析:方法一,sin 15°+sin 75°=sin 15°+cos 15°=

2sin(15°+45°)=

6 2.

方法二,sin 15°+sin 75°=sin(45°-30°)+sin(45°+30°)=

2sin

45°cos

30°=

6 2.

方法三,sin 15°+sin 75°=

6- 4

2+

6+ 4

2=

6 2.

答案:

6 2

(3)计算:cos 101°-+cos3s8i0n°10°=________.

解 析 : cos

101°-+cos3s8i0n°10°=

2cos?10°-60°? 2sin240°



2cos 50°= 2sin 40°

2.

答案: 2

(4)计算:tan 20°+tan 40°+ 3tan 20°tan 40°=________. 解析:tan(20°+40°)=1t-ant2a0n°2+0°ttaann4400°°,可得 3- 3tan 20°tan 40°=tan 20°+tan 40°,移项,可得 tan 20°+tan 40° + 3tan 20°tan 40°= 3.
答案: 3

【规律方法】三角函数的给角求值,关键是把待求角用已 知角表示:
(1)当已知角为两个时,待求角一般表示为已知角的和或差; (2)当已知角为一个时,待求角一般与已知角成“倍的关系” 或“互余、互补”的关系.

考点 2 给值求值问题 例 2:(1)(2016 年新课标Ⅰ)已知 θ 是第四象限角,且 sin???θ+π4???=35,则 tan???θ-π4???=________.

解析:由题意 sin???θ+π4???=35,



cos ???θ+π4???



4 5

.



cos

???π4-θ???

=sin

???θ+π4???



3 5

, sin ???π4-θ???



cos???θ+π4???=45.∴tan???θ-π4???=-tan???π4-θ???=-csoins??????π4π4--θθ??????=-3545=

-43.

答案:-43

(2)(2017 年新课标Ⅲ)已知 sin α-cos α=43,则 sin 2α=

()

A.-79

B.-29

C.29

D.79

解析:由 sin α-cos α=43两边*方,得(sin α-cos α)2=1-

2sin αcos α=1-sin 2α=196,所以 sin 2α=-79.故选 A.

答案:A

(3)(2017 年新课标Ⅰ)已知 a∈???0,π2???,tan α=2,则 cos???α-π4??? =________.

解析:由 tan α=2,得 sin α=2cos α,又 sin2α+cos2α=1,

所以 cos2α=15.因为 α∈???0,π2???,所以 cos

α=

55,sin

α=2

5

5 .

因为 cos???α-π4???=cos αcosπ4+sin αsinπ4= 55× 22+2 5 5× 22=

3 10 10 .

答案:3

10 10

(4)(2015 年重庆)若 tan α=2tan π5,则csoisn??????αα--31π5π0??????=(

)

A.1

B.2

C.3

D.4

解析:由已知,csoisn??????αα--31π5π0??????=cosisnααccooss

31π0+sin π5-cos

αsin αsin

3π 10 π 5

cos =
tan

31π0+tan αsin αcos π5-sin

31π5π0=co2stan31π0π5+co2staπ5n-π5ssiinn

3π 10 π 5

cos =

π 5cos

31π0+2sin ππ

π 5sin

3π 10=3si1n

π 5cos


π 5

sin 5cos 5

2sin 5



3sin =

5 2π

=3.故选

C.

sin 5

答案:C

(5)(2017 年广东惠州三模)已知 α∈???0,π2???,cos???α+π3???=-23, 则 cos α=________.

解析:因为 α∈???0,π2???,所以 α+π3∈???π3,56π???,所以 sin???α+π3???

= 35.所以 cos α=cos??????α+π3???-π3???=cos???α+π3???cosπ3+sin???α+π3???sinπ3

=-23×12+ 35× 23=

15-2 6.

答案:

15-2 6

考点 3 给值求角问题

例 3:已知 A,B 均为钝角,且 sin A= 55,sin B= 1100,求 A+B 的值.

解:∵A,B 均为钝角,且 sin A= 55,sin B= 1100,

∴cos A=-

1-sin2A=-

2 =-2 5

5

5,

cos B=-

1-sin2B=-

3 =-3 10

10 10 .

∴cos(A+B)=cos Acos B-sin Asin B

=-2

5

5×??-3
?

1010???-

55×

1100=

2 2.

∵π2<A<π,π2<B<π,

∴π<A+B<2π.∴A+B=74π.

【规律方法】已知三角函数值求角时,要先确定所求角的

范围,再选择在该范围内具有单调性的某一三角函数求解,否

则容易出现增根.如若 α∈(0,π),则选余弦函数;若 α∈???-π2,π2???, 则选正弦函数.

【互动探究】

1.已知 α,β 为锐角,且 cos α=

110,cos

β=

1 ,为了求 5

α+β的值,要先求 sin(α+β)或 cos(α+β),你认为选_c_o_s_(_α_+__β_)

3π 更好.最后求得α+β=____4_____.

难点突破 ⊙利用函数的思想探讨三角函数的最值问题 例题:函数 y=sin x+cos x+2sin xcos x 的最大值是______.
解析:令 sin x+cos x=t,则- 2≤t≤ 2. *方,得 1+2sin xcos x=t2. 所以 2sin xcos x=t2-1. 则 y=t+t2-1=???t+12???2-54. 函数图象的对称轴方程为 t=-12. 所以当 t= 2时,ymax= 2+( 2)2-1= 2+1. 答案: 2+1

【互动探究】
2.(2016 年湖北武汉十六中模拟)已知函数 f(x)=sin2x- sin2???x-π6???,x∈R.
(1)求 f(x)的最小正周期; (2)求 f(x)在区间???-π3,π4???上的最大值和最小值.

解:(1)∵f(x)=sin2x-sin2???x-π6???=sin2x-1-cos2???2x-3π???

=sin2x+12cos???2x-π3???-12

=12-12cos 2x+12???cos 2xcos π3+sin 2xsin π3???-12

=-12cos 2x+14cos 2x+ 43sin 2x



3 4 sin

2x-14cos

2x=12sin???2x-π6???.

∴f(x)的最小正周期 T=22π=π.

(2)∵x∈???-π3,π4???,则 2x-π6∈???-56π,π3???.

∴12sin???2x-π6???∈???-12,

3?

4

?.
?

故 f(x)在区间???-π3,π4???上的最大值和最小值分别为 43,-12.

编后语

? 听课对同学们的学*有着非常重要的作用。课听得好好,直接关系到大家最终的学*成绩。如何听好课,同学们可以参考如下建议:

? 一、听要点。

?

一般来说,一节课的要点就是老师们在备课中准备的讲课大纲。许多老师在讲课正式开始之前会告诉大家,同学们对此要格外注意。例如在学*物

理课“力的三要素”这一节时,老师会先列出力的三要素——大小、方向、作用点。这就是一堂课的要点。把这三点认真听好了,这节课就基本掌握了。

? 二、听思路。

?

思路就是我们思考问题的步骤。例如老师在讲解一道数学题时,首先思考应该从什么地方下手,然后在思考用什么方法,通过什么样的过程来进行

解答。听课时关键应该弄清楚老师讲解问题的思路。

? 三、听问题。

? 对于自己预*中不懂的内容,上课时要重点把握。在听讲中要特别注意老师和课本中是怎么解释的。如果老师在讲课中一带而过,并没有详细解答, 大家要及时地把它们记下来,下课再向老师请教。

? 四、听方法。

?

在课堂上不仅要听老师讲课的结论而且要认真关注老师分析、解决问题的方法。比如上语文课学*汉字,一般都是遵循着“形”、“音”、“义”

的研究方向;分析小说,一般都是从人物、环境、情节三个要素入手;写记叙文,则要从时间、地点、人物和事情发生的起因、经过、结果六个方面进

行叙述。这些都是语文学*中的一些具体方法。其他的科目也有适用的学*方法,如解数学题时,会用到反正法;换元法;待定系数法;配方法;消元

法;因式分解法等,掌握各个科目的方法是大家应该学*的核心所在。

? 优等生经验谈:听课时应注意学*老师解决问题的思考方法。同学们如果理解了老师的思路和过程,那么后面的结论自然就出现了,学*起来才能够举 一反三,事半功倍。

2019/7/9

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谢谢欣赏!

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